概述
　　所謂信號(hào)處理是指對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波、變換、分析、加工、提取特征參數(shù)等的過(guò)程。在電子儀器和測(cè)量中最典型的是用頻譜分析儀對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析從而了解和取得信號(hào)的頻率(或頻譜)特性。在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)和相關(guān)的技術(shù)發(fā)展起來(lái)以前這一過(guò)程只能用以硬線技術(shù)構(gòu)成的傳統(tǒng)的頻譜分析儀實(shí)現(xiàn)。眾所周知這種傳統(tǒng)的頻譜分析儀無(wú)論在設(shè)計(jì)制造還是所采用的元器件方面都要求較高的水平。尤其是頻率范圍寬、指標(biāo)高的設(shè)計(jì)制造的難度就更高而其價(jià)格也非常昂貴。但是自從計(jì)算機(jī)及隨之而興起的數(shù)字信號(hào)處理(即DSP〉技術(shù)日趨成熟和發(fā)展起來(lái)以后解決信號(hào)頻譜分析的途徑正在逐步由DSP所取代。

　　關(guān)于離散傅立葉變換和數(shù)字濾波
　　作為信號(hào)處理和頻譜分析最直接相關(guān)的是傅立葉(Fourier）變換即FT。人們已經(jīng)熟知離散傅立葉變換(即DFT）和數(shù)字濾波是DSP的基本內(nèi)容。目前DFT已有許多實(shí)用有效的快速DFT算法即FFT算法和軟件其性能主要決定于采樣(實(shí)際上還包括模/數(shù)轉(zhuǎn)換)率和CPU的運(yùn)算速度。將任意信號(hào)(主要是反映客觀物理世界的各種變化量而且多半是連續(xù)變化的模擬量)轉(zhuǎn)換為能夠由CPU處理的數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)這一過(guò)程稱為“數(shù)字化”它包括采樣和量化兩個(gè)步驟量化即通常所說(shuō)的模/數(shù)轉(zhuǎn)換。采樣的速率和被處理的信號(hào)有關(guān)。為了保證數(shù)字化后的信號(hào)數(shù)據(jù)不喪失原信號(hào)的特性采樣頻率應(yīng)大于或至少等于信號(hào)截止頻率的2倍。這就是著名的奈奎斯特(Nyquist)采樣定理或稱奈奎斯特采樣率。奈奎斯特采樣定理是很容易證明的。至于CPU的運(yùn)算速度眾所周知現(xiàn)在的微機(jī)已達(dá)數(shù)百甚至上千兆赫的水平。為了提高或?qū)崿F(xiàn)主要是FFT等運(yùn)算的高速化美國(guó)得州儀器公司(IT)很早開始就一直致力于專用的DSP芯片的研制和生產(chǎn)。著名TMS320系列芯片已為科技界所熟知。據(jù)最近報(bào)道新的TMS320C64x的運(yùn)行速度己高達(dá)600MHz其內(nèi)核的8個(gè)功能單元能在每個(gè)周期同時(shí)執(zhí)行4組16位MAC運(yùn)算或8組8位MAC運(yùn)算。單個(gè)C64x DSP芯片能同時(shí)完成一個(gè)信道的MPEG4視頻編碼、一個(gè)信道的MPEG4視頻解碼和一個(gè)MPEG2視頻解碼并仍有50%的余量留給多通道語(yǔ)音和數(shù)據(jù)編碼、自然還有其他一些廠商也研制生產(chǎn)了不少品種專用或通用的DSP芯片。
　　在上一個(gè)世紀(jì)中電濾波器的發(fā)展經(jīng)歷了從無(wú)源到有源和從模擬到數(shù)字兩個(gè)過(guò)程。高精度無(wú)源濾波器從設(shè)計(jì)到制造都是難度非常高的技術(shù)。有源濾波器雖然很大地改進(jìn)了濾波器的性能也降低了一些制造工藝的難度但從其性能的大幅度改進(jìn)與其它信號(hào)處理技術(shù)的結(jié)合實(shí)現(xiàn)的手段之便捷還是要數(shù)數(shù)字濾波器后來(lái)居上。當(dāng)然這和EDA技術(shù)的發(fā)展也有關(guān)系。
　　數(shù)字濾波器是一種離散系統(tǒng)其特性或傳遞函數(shù)由以Z-變換為基礎(chǔ)的差分方程描述。數(shù)字濾波器分兩大類即IIR有限脈沖響應(yīng)濾波器和FIR無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器。前者又稱為“遞歸式”濾波器后者又稱為“非遞歸式”濾波器。人們可以根據(jù)對(duì)信號(hào)處理的要求確定描述系統(tǒng)的差分方程再根據(jù)差分方程設(shè)計(jì)出濾波器。濾波器的實(shí)現(xiàn)也有兩種方式一種為純軟件方式即成為一個(gè)算法軟件或軟件包；另一種為硬件方式即設(shè)計(jì)成具體的硬線電路甚至制成專用或通用的芯片。關(guān)于數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法和成熟的軟硬件產(chǎn)品都不難獲得。這里不再詳述。


　　信號(hào)的其它正交變換
　　已知傅立葉變換或傅立葉分析隱含這樣的意義：
EP一個(gè)信號(hào)是由其FT所得頻譜上各分量所代表的正

弦波合成的。在這個(gè)意義上我們把表示這些正弦波一組正交的正弦函數(shù)稱為傅立葉變換的正交基函數(shù)(也可以用復(fù)函數(shù)的形式表示)。研究表明不僅正弦函數(shù)可以作為正交變換的基函數(shù)而是只要滿足正交完備的函數(shù)系都可以作為基函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行正交變換分解分析(正弦函數(shù)自然是正交完備的函數(shù)系)。因此我們把這些變換籠統(tǒng)地稱為“正交變換”。實(shí)用中最使人感興趣的非正弦正交函數(shù)有雷德梅徹(Rademacher)函數(shù)、哈爾(Haar)函數(shù)和沃爾什(Wald)函數(shù)等。一段時(shí)期以來(lái)用得最多的當(dāng)屬沃爾什函數(shù)它是由沃爾什在1923年完備化的雷德梅徹函數(shù)。沃爾什函數(shù)是一組矩形波其取值為1和-1非常便于計(jì)算機(jī)運(yùn)算。沃爾什函數(shù)有三種排列或編號(hào)方式即按列率排列或沃爾什排列、佩利 (Paley)排列和阿達(dá)瑪(Hadamard)排列。這三種排列各有特點(diǎn).而以阿達(dá)瑪排列最便于快速計(jì)算。采用阿達(dá)瑪排列的沃爾什函數(shù)進(jìn)行的變換稱為沃爾什-阿達(dá)瑪變換簡(jiǎn)稱WHT或直稱阿達(dá)瑪變換。由于離散正交變換的運(yùn)算常以矩陣乘法的方式完成而沃爾什-阿達(dá)瑪函數(shù)組的矩陣形式只有1和-l兩種元素同時(shí)這種阿達(dá)瑪短陣的規(guī)律性非常強(qiáng)可以用簡(jiǎn)單的算法產(chǎn)生所以WHT的快速算法很容易實(shí)現(xiàn)�，F(xiàn)在這種快速算法及其軟件已經(jīng)有很成熟的商品。當(dāng)然在使用這種變換時(shí)我們必須記住它所得出的譜是以短形波為基礎(chǔ)的。
　　另一種常用的正交變換是離散余弦變換DCT。已知傅立葉變換的基函數(shù)是正弦函數(shù)即其每一個(gè)分量是一個(gè)正弦波(或一個(gè)復(fù)向量)分量的次數(shù)決定該正弦波的頻率而各個(gè)分量的相位則構(gòu)成信號(hào)的相位譜。也就是說(shuō)一個(gè)信號(hào)的傅立葉譜包括兩部分一是幅度特性一是相位特性；或者作為復(fù)向量的實(shí)部余弦分量和作為虛部的正弦分量。換句話說(shuō)僅僅幅度特性譜并不能完整地代表該信號(hào)而必須補(bǔ)克相位特性才是完整的。這當(dāng)然既使表示和運(yùn)算處理復(fù)雜化又使表示信號(hào)的數(shù)據(jù)量加大。經(jīng)過(guò)研究表明如果將信號(hào)坐標(biāo)的原點(diǎn)作適當(dāng)?shù)钠�移就可以使變換后的結(jié)果只存在正弦波的正弦分量或余弦分量二者中的一個(gè)。這就是正弦變換或余弦變換。信號(hào)處理中的離散余弦變換DCT就是將信號(hào)坐標(biāo)的原點(diǎn)左移半個(gè)采樣間隔得到的。DCT具有很優(yōu)良的信息特性.且有有效的快速算法所以在制定MPEG標(biāo)準(zhǔn)時(shí)將它定為圖像壓縮編碼的標(biāo)準(zhǔn)變換。

　　這一節(jié)的最后順便提一下離散K-L(KarhunenLover)變換。KLT通常被稱為最佳變換因?yàn)椴捎肒LT的濾波器和信息壓縮編碼失真最小。但由于KLT的變換基函數(shù)是不定的而且至今沒(méi)有快速算法所以只在特殊需要的場(chǎng)合才使用。

　　關(guān)于小波分析
　　我們注意到上述所有這些變換或分析其對(duì)象都是平穩(wěn)信號(hào)甚或周期信號(hào)。以傅立葉分析來(lái)說(shuō)它的原始出發(fā)點(diǎn)是傅立葉級(jí)數(shù)其數(shù)學(xué)定義表示任一非正弦周期函數(shù)(信號(hào))可以分解為元窮多個(gè)頻率為其基本頻率整倍數(shù)的正弦波(及一直流分量)之和。而對(duì)于傅立葉變換的積分則是將其積分周期拓展至無(wú)窮形成的。實(shí)際上頻率這一概念正是傅立葉在此工作中提出來(lái)的。而且這種把一個(gè)事物從一個(gè)“域”變換到另一個(gè)“域”從而從新的角度或尺度對(duì)其進(jìn)行分析或表示的這種分析方法在科學(xué)史上具有劃時(shí)代意義的創(chuàng)造正是傅立葉提出來(lái)的。但是人們也早就發(fā)現(xiàn)像傅立葉變換之類的變換或分析工具只能用來(lái)處理確定性的平穩(wěn)信號(hào)對(duì)于突變的非平穩(wěn)信號(hào)則不能完成滿意的分析；而且傅立葉分析得出的是信號(hào)的整體頻譜卻不能獲得信號(hào)的局部特性。因此在20世紀(jì)80年代出現(xiàn)了加窗傅立葉變換。加窗傅立葉變換是一種局域化的時(shí)-頻分析方法即將傳統(tǒng)的傅立葉變換的時(shí)域(或空域)至頻域的映射分析用加窗的方式結(jié)合起來(lái)對(duì)局部的時(shí)間段(或空間間隔)進(jìn)行頻域分析加窗傅立葉變換部分地解決了短時(shí)信號(hào)的分析問(wèn)題。但它存在許多本質(zhì)上的缺陷如對(duì)短時(shí)高頻信號(hào)固然可以用縮小窗口寬度和采樣間隔的辦法適應(yīng)頻率的提高但窗口太窄會(huì)降低頻率分辨率而且對(duì)低頻分量也不適應(yīng)。因此這就導(dǎo)致人們對(duì)新的變換(分析)方法的探求。小波(Wavelet)分析就是在這一背景下出現(xiàn)并很快得到應(yīng)用和發(fā)展的。
　　現(xiàn)在簡(jiǎn)單介紹小波分析的概念。
　　設(shè)給定連續(xù)信號(hào)f(t)�？紤]到實(shí)際信號(hào)的分辨率總是有限的從而可以將f(t)表示為以下階梯函數(shù)



式中n為整數(shù)表示采樣點(diǎn)Cn0=f(n)為樣本值而



為其基函數(shù)或尺度函數(shù)。這時(shí)若將采樣間隔加倍則樣點(diǎn)數(shù)減半，而信號(hào)表示為



這樣一來(lái)信號(hào)的數(shù)據(jù)量壓縮了一半。這就是所謂二分法�？疾於�分前后兩個(gè)信號(hào)的偏差



就是一個(gè)小波函數(shù).
　　有人解釋“小波”就是小的波形。而“小”指它具有衰減性，鍍層測(cè)厚儀“波”則是指波動(dòng)性即其振幅呈正負(fù)相同的振蕩形式。
　　小波函數(shù)ψ(t)能通過(guò)平移和伸縮生成L2(R)中的一組正交基：

{（ψ（2-kt-n）kn為整數(shù)} 

從而可以將給定信號(hào)f(t)進(jìn)行分解：



通常ψ(t)又稱小波基函數(shù)。小波基函數(shù)可以有不同式前述哈爾函數(shù)就是一種常用的基函數(shù)。當(dāng)然能夠作為小波基函數(shù)的也還是它必須能展開成一組完備正交的函數(shù)系。
　　小波分析的發(fā)展非常迅速。雖然最早可以追溯到1900年希爾伯特(Hilbert)的論述和1910年哈爾提出的規(guī)范正交基但實(shí)際的主要工作還應(yīng)該是1984年法國(guó)的Morlet在分析地震波的局部性質(zhì)時(shí)因傅立葉變換難以達(dá)到要求因而引人小波概念。以后Grossman對(duì)Morlet的信號(hào)按一個(gè)確定函數(shù)的伸縮、平移系進(jìn)行了研究為小波分析的形成開了先河。
　　在諸多為小波分析作出巨大貢獻(xiàn)的科學(xué)工作者之中1987年Maliat發(fā)表的Mallat算法無(wú)疑對(duì)推動(dòng)小波分析的發(fā)展起了非常重要的作用。自然在小波分析的發(fā)展中我國(guó)許多科技工作者也作出了大的貢獻(xiàn)。
　　和前述其它分析變換一樣小波變換也有連續(xù)和離散兩種形式。但由于小波函數(shù)通常都是短形脈沖波因而離散處理相對(duì)比較容易從而有時(shí)人們忽略了其差別。
　　小波變換除了適應(yīng)于處理突變(或時(shí)變)的非平穩(wěn)信號(hào)外還具有一個(gè)非常有用的特性，即多分辨率特性。所謂多分辨率即在小波分析中由于所采用的尺度函數(shù)不同可以很容易地得到不同分辨率的結(jié)果。這在圖像信號(hào)的處理中已得到實(shí)際的應(yīng)用。
　　小波分析發(fā)展到現(xiàn)在已經(jīng)取得許多成熟的成果包括一批通用的算法、軟件以及固化的器件。例如AD公司推出的ADV611芯片作為視頻圖像的編/解碼和壓縮內(nèi)含小波濾波器可以達(dá)到7500：1的壓縮比圖像質(zhì)量良好。在儀器和測(cè)量的應(yīng)用中也有許多成果如有人把它用在X-射線譜信號(hào)的分析中經(jīng)過(guò)小波變換處理的譜線信號(hào)質(zhì)量得到大幅度的提高。可以預(yù)計(jì)這種技術(shù)還將進(jìn)一步發(fā)展得到更廣泛的應(yīng)用。

　　結(jié)束語(yǔ)
　　以上本文簡(jiǎn)單介紹了當(dāng)前常見的信號(hào)處理特別是數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)。但是它們基本上都只適于對(duì)確定性信號(hào)進(jìn)行處理。在信號(hào)處理技術(shù)中還有一大類稱為隨機(jī)信號(hào)處理或統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理。這一類處理技術(shù)最廣泛地用于和噪聲及信號(hào)污操作斗爭(zhēng)也有人稱為信號(hào)估計(jì)或信號(hào)復(fù)原最具代表性的兩種技術(shù)就是維納(Weiner)濾波和卡爾曼(Kalmark)濾波.前者又稱為最小二乘方濾波后者從自噪聲中恢復(fù)信號(hào)十分有效。其實(shí)它們都是很早就已經(jīng)提出但只是在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)和數(shù)字技術(shù)的發(fā)展下才得到真正實(shí)際的應(yīng)用。因此我們最后簡(jiǎn)單地提及作為本文的結(jié)束。